Lightmodulation: Gerchberg-Saxton-Algorithmus (GSA)

Hier will ich kurz das Vorgehen bei dem Phasensuchalgorithmus GSA erläutern. Ich habe den Algorithmus in Python übertragen und eine Diskretisierungsfunktion (Link zum Code) hinzugefügt.

Der GSA wurde in dem wegweisenden Paper „A Practical Algorithm for the Determination of Phase from Image and Diffraction Plane Pictures“ von R. W. Gerchberg und W. O. Saxton 1972 in Optik veröffentlicht und wird wegen seiner Einfachheit heute angewandt.
Der Wikipedia-Artikel Gerchberg-Saxton algorithm braucht unbedingt eine deutsche Übersetzung.

Phasenverschub für die Herstellung eines homogenen quadratischen Amplitudenverlauf visualisiert $[0,2\pi] \rightarrow$ [scharz,weiß]

Phasenverschub für die Herstellung eines homogenen quadratischen Amplitudenverlauf visualisiert $[0,2\pi] \rightarrow$ [scharz,weiß]

In der Optik ist oft die Zielintensitätsverteilung entscheidend und der Phasenversatz $\Delta\phi$ zur Herstellung der Intensitätsverteilung unbekannt. Iterative Lösungsverfahren, wie der GSA können in Verbindung mit der Eingangsintensitätsverteilung den benötigten Phasenversatz approximieren. Dafür werden die Funktionen der Intensitätsverteilungen $\sqrt{I}$ auf diskrete Werte 2-dimensionalen Matrizen reduziert. Der GSA ist nicht auf 2-dimensionale Intensitätsverteilungen beschränkt. Der GSA berechnet aus der Intensitätsverteilung in der Beugungsebene und der Intensitätsverteilung in der Bildebene, den erforderlichen Phasenversatz.

Der GSA benötigt eine Eingangsintensitätsverteilung $I_{ein}$ , wobei $\phi$ die Eingangsphase der Eingangsintensität ist. Im Normalfall wird von einem zeitlich und räumlich kohärenten Strahl ausgegangen, $\phi=const$ .

(1) $\begin{equation*} \sqrt{I_{ein}}=A_{ein} \cdot e^{i\phi}=A_{ein} \cdot e^{i \cdot const} \end{equation*}$

Die Ausgangsintensität $I_{aus}$ beinhaltet die Zielintensitätsverteilung und den jeweiligen Phasenversatz. Bei einer Phasenmodulation soll primär eine vorgegebene Zielintensitätsverteilung erzeugt werden, ein Phasenversatz der Ausgangsintensität ist nicht gewollt. Daher wird die Phase der Ausgangsintensität $\phi=const$ gesetzt.

(2) $\begin{equation*} \sqrt{I_{aus}}=A_{aus} \cdot e^{i\phi}=A_{aus} \cdot e^{i \cdot const} \end{equation*}$

Die Eingangs- und Ausgangsintenstitätsverteilung wird für ein 2-dimensionales DOE in einer 2-dimensionalen Matrix dargestellt, wobei der Eintrag der diskreten räumlichen Anordnung entspricht.
Im ersten Schritt des Algorithmus wird die Eingangsintensität $I_{ein}$ mit dem Phasenversatz $\Delta \phi$ kombiniert, welcher später den Phasenversatz des DOE erzeugen soll.

Der Phasenversatz wird im ersten Zyklus aus Gleichung (1) entnommen:

(3) $\begin{equation*} A_{ein} \cdot e^{i \cdot 0} \rightarrow A_{ein} \cdot e^{i\phi} \end{equation*}$

Diese modifizierte Ausgangsverteilung wird über die 2-dimensionale Fast-Fourier-Trans\-formation (FFT) auf die Ausgangsseite übersetzt.

(4) $\begin{equation*} [ A_{ein} \cdot e^{i\phi} ] \xrightarrow[]{FFT} [ \bar A_{aus} \cdot e^{i\bar\phi} ] \end{equation*}$

Die Intensität der fourier-transformierten Eingangsintensität $| \bar A_{aus} \cdot e^{i\bar \phi} |^2$ entspricht der Intensitätsverteilung des Strahls im Fernfeld nach dem Einbringen des Phasenversatz durch das DOE. Der Phasenversatz $\bar\phi$ wird aus der transformierten Eingangsintensität genommen und mit der Wurzel der Zielintensitätsverteilung $\sqrt{I_{aus}}=A_{aus}$ getauscht.

(5) $\begin{equation*} A_{aus} \cdot e^{i \cdot 0} \rightarrow A_{aus} \cdot e^{i\bar\phi} \end{equation*}$

Die $\bar\phi$ -modifizierte Zielintensitätsverteilung wird über die 2-dimensionale Inverse Fast-Fourier-Transformation zurück auf die Eingangsseite transformiert.

(6) $\begin{equation*} [ \bar A_{ein} \cdot e^{i\phi} ] \xleftarrow[]{IFFT} [ A_{aus} \cdot e^{i\bar\phi} ] \end{equation*}$

Die neue Phase $\phi$ aus der Inversen Fast-Fourier-Transformation stellt den korrigierten Phasenversatz $\Delta \phi$ für die Frauenhoferbeugung dar und kann als Phasenversatz für das DOE verwendet werden. Die erste Iteration ist abgeschlossen.
Nach der ersten Iteration ist der Abbildungsfehler und das Signal-Rausch-Verhältnis noch groß, daher wird hier die Eingangsintensität $I_{ein}$ wieder mit dem neuen Phasenversatz $\Delta \phi$ kombiniert mit Gleichung (1) und erneut transformiert. Der Algorithmus wird erneut durchlaufen. Ein Abbruch des Algorithmus erfolgt, wenn die gewollte Güte des DOEs erreicht wurde oder wenn einer Anzahl $N$ an Iterationen erreicht ist.

Amplitudenverlauf bei 20 Interationen ohne Diskretisierung

Die Ausgabe des GSA ist eine 2-dimensionale Matrix, welche die kontinuierlichen Phasenversätze $\Delta \phi \in [0, 2\pi]$ des jeweiligen Bereiches beinhaltet. Ein kontinuierlicher Abtrag nach Maß des Phasenversatz kann technisch nur schwer umgesetzt werden. Daher wird in der Anwendung der Phasenversatz diskretisiert. Die Diskretisierung kann innerhalb des Algorithmus oder nach Abbruch durchgeführt werden und bestimmt die theoretische Effizienz maßgeblich. Der GSA diskretisiert damit 2-mal den Phasenversatz: Die Positionsmatrix der Phasenversätze hat eine begrenzte Anzahl an Einträgen, ein kontinuierlicher Verlauf ist daher hier nicht möglich. Zusätzlich werden die Werte der Einträge, also der Phasenversatz, diskretisiert, es kommt erneut zu einer Verringerung der Ausgabemöglichkeiten.

Hier will ich kurz das Vorgehen bei dem Phasensuchalgorithmus GSA erläutern. Ich habe den Algorithmus in Python übertragen und eine Diskretisierungsfunktion (Link zum Code) hinzugefügt.

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